想必现在有很多小伙伴对于综合与探究：如图1，$Rt\triangle AOB$的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，$OA=4$，$OB=2$将线段AB绕点B顺时针旋转${90}^{\circ }$得到线段BC，过点C作$CD\bot x轴$于点D。抛物线$y=a{x}^{2}+3x+c$。经过点C，与y轴交于点$E\left ( {0，2} \right )$，直线AC与x轴交于点H。如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F（点F在第一象限）。设点G的横坐标为m。（1）点G的纵坐标用含m的代数式表示为____。（2）如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标。判断四边形ABCF的形状并证明结论。（3）在（2）的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与$\triangle FHC$全等，请直接写出点N的坐标","title_text":"综合与探究：如图1，$Rt\triangle AOB$的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，$OA=4$，$OB=2$将线段AB绕点B顺时针旋转${90}^{\circ }$得到线段BC，过点C作$CD\bot x轴$于点D。抛物线$y=a{x}^{2}+3x+c$。经过点C，与y轴交于点$E\left ( {0，2} \right )$，直线AC与x轴交于点H。如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F（点F在第一象限）。设点G的横坐标为m。（1）点G的纵坐标用含m的代数式表示为____。（2）如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标。判断四边形ABCF的形状并证明结论。（3）在（2）的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与$\triangle FHC$全等，请直接写出点N的坐标方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于综合与探究：如图1，$Rt\triangle AOB$的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，$OA=4$，$OB=2$将线段AB绕点B顺时针旋转${90}^{\circ }$得到线段BC，过点C作$CD\bot x轴$于点D。抛物线$y=a{x}^{2}+3x+c$。经过点C，与y轴交于点$E\left ( {0，2} \right )$，直线AC与x轴交于点H。如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F（点F在第一象限）。设点G的横坐标为m。（1）点G的纵坐标用含m的代数式表示为____。（2）如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标。判断四边形ABCF的形状并证明结论。（3）在（2）的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与$\triangle FHC$全等，请直接写出点N的坐标","title_text":"综合与探究：如图1，$Rt\triangle AOB$的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，$OA=4$，$OB=2$将线段AB绕点B顺时针旋转${90}^{\circ }$得到线段BC，过点C作$CD\bot x轴$于点D。抛物线$y=a{x}^{2}+3x+c$。经过点C，与y轴交于点$E\left ( {0，2} \right )$，直线AC与x轴交于点H。如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F（点F在第一象限）。设点G的横坐标为m。（1）点G的纵坐标用含m的代数式表示为____。（2）如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标。判断四边形ABCF的形状并证明结论。（3）在（2）的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与$\triangle FHC$全等，请直接写出点N的坐标方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

1、1. 【答案】

2、$left ( {6，2} right )$；$y=-dfrac {1} {2}{x}^{2}+3x+2$

3、【解析】

4、$because OA=4$，$OB=2$，

5、$therefore $点A的坐标为$left ( {0，4} right )$，点B的坐标为$left ( {2，0} right )$

6、$because $线段AB绕点B顺时针旋转${90}^{circ }$得到线段BC，

7、$therefore AB=BC$，$angle ABC={90}^{circ }$，

8、$therefore angle ABO+angle DBC={90}^{circ }$，

9、在RT$triangle AOB$中，

10、$therefore angle ABO+angle OAB={90}^{circ }$，

11、$therefore angle OAB=angle DBC$，

12、$because $$CDbot x轴$于点D，

13、$therefore angle BDC={90}^{circ }$，

14、$therefore angle AOB=angle DBC={90}^{circ }$，

15、$because AB=BC$，

16、$therefore triangle ABO≌triangle BCD$，

17、$because CD=OB=2$，$BD=OA=4$，

18、$therefore OB+BD=6$，

19、$therefore $点C的坐标为$left ( {6，2} right )$，

20、因为抛物线$y=a{x}^{2}+3x+c的图象经过点C，与y轴交于点Eleft ( {0，2} right )$，

21、$therefore left { {{begin{array}{ll} {c=2} {36a+18+c=2} end{array}}} right .$解得$left { {{begin{array}{ll} {a=-dfrac {1} {2}} {c=2} end{array}}} right .$，

22、抛物线的解析式为$y=-dfrac {1} {2}{x}^{2}+3x+2$。

23、2. 【答案】

24、（1）$-dfrac {1} {3}m+4$；

25、（2）点F的坐标为$left ( {4，6} right )$；四边形ABCF为正方形；

26、（3）点N坐标为$left ( {10，4} right )$或$left ( {dfrac {42} {5}，dfrac {26} {5}} right )$或$left ( {dfrac {38} {5}，dfrac {4} {5}} right )$

27、【解析】

28、（1）点G的纵坐标用含m的代数式表示为$-dfrac {1} {3}m+4$

29、故答案为：$-dfrac {1} {3}m+4$。

30、（2）

31、过点G作$GMbot x轴$于点M，

32、$therefore OM=m$，$GM=-dfrac {1} {3}m+4$。

33、$because AB=BC$，$BGbot AC$，

34、$therefore AG=CG$。

35、$because angle AOB=angle GMH=angle CDH={90}^{circ }$，

36、$therefore $$OAparallel GMparallel CD$，

37、$therefore dfrac {OM} {MD}=dfrac {AG} {GC}=1$，

38、$therefore OM=MD=dfrac {1} {2}OD=3$，

39、$therefore m=3$，$-dfrac {1} {3}m+4=3$，

40、$therefore $点G坐标为$left ( {3，3} right )$，

41、设直线BG的表达式为$y=kx+b$，将G$left ( {3，3} right )$和B$left ( {2，0} right )$代入表达式，

42、得$left { {{begin{array}{ll} {2k+b=0} {3k+b=3} end{array}}} right .$，$therefore left { {{begin{array}{ll} {k=3} {b=-6} end{array}}} right .$，即表达式为$y=3x-6$，

43、$because $点F为直线BG和抛物线的交点，

44、$therefore $得$-dfrac {1} {2}{x}^{2}+3x+2=3x-6$，

45、$therefore {x}_{1}=4$，${x}_{2}=-4$（舍去），

46、$therefore $点F的坐标为$left ( {4，6} right )$，

47、过点F作$FPbot y轴$垂足为点P，PF的延长线与DC的延长线交于点Q。

48、$therefore $$PF=4$，$AP=2$，$FQ=2$，$CQ=4$，

49、在$Rttriangle AFP$和$Rttriangle FCQ$中，根据勾股定理，得$AF=FC=2sqrt {5}$，

50、$therefore AB=BC=CF=FA$，

51、$therefore $四边形ABCF为菱形，

52、$because angle ABC={90}^{circ }$，

53、$therefore $菱形ABCF为正方形。

54、（3）点N坐标为$left ( {10，4} right )$或$left ( {dfrac {42} {5}，dfrac {26} {5}} right )$或$left ( {dfrac {38} {5}，dfrac {4} {5}} right )$。

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