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如图多面体$PABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$由正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$和四棱锥$P-ABCD$组成.正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$棱长为$2$四棱锥$P-ABCD$侧棱长都相等高为$1$.（Ⅰ）求证$B_{1}C\bot($平面$PCD$；（Ⅱ）求二面角$B-PB_{1}-C$的余弦值.","title_text":"如图多面体$PABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$由正方体$ABCD-A_{1}B_{1}

2022-08-04 01:21:09 游戏来源：

导读想必现在有很多小伙伴对于如图，多面体$PABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$由正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$和四棱锥$P-ABCD$组成正方体$ABC

想必现在有很多小伙伴对于如图，多面体$PABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$由正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$和四棱锥$P-ABCD$组成.正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$棱长为$2$，四棱锥$P-ABCD$侧棱长都相等，高为$1$.（Ⅰ）求证：$B_{1}C\bot $平面$PCD$；（Ⅱ）求二面角$B-PB_{1}-C$的余弦值.","title_text":"如图，多面体$PABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$由正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$和四棱锥$P-ABCD$组成.正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$棱长为$2$，四棱锥$P-ABCD$侧棱长都相等，高为$1$.（Ⅰ）求证：$B_{1}C\bot $平面$PCD$；（Ⅱ）求二面角$B-PB_{1}-C$的余弦值.方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于如图，多面体$PABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$由正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$和四棱锥$P-ABCD$组成.正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$棱长为$2$，四棱锥$P-ABCD$侧棱长都相等，高为$1$.（Ⅰ）求证：$B_{1}C\bot $平面$PCD$；（Ⅱ）求二面角$B-PB_{1}-C$的余弦值.","title_text":"如图，多面体$PABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$由正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$和四棱锥$P-ABCD$组成.正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$棱长为$2$，四棱锥$P-ABCD$侧棱长都相等，高为$1$.（Ⅰ）求证：$B_{1}C\bot $平面$PCD$；（Ⅱ）求二面角$B-PB_{1}-C$的余弦值.方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

1、（Ⅰ）证明：以$D_{1} $为坐标原点，分别以$D_{1}A_{1}$，$D_{1}C_{1}$，$D_{1}D$所在直线为$x$，$y$，$z$轴建立空间直角坐标系$,$

2、由已知可得：$B_{1}left(2,2,0right)$，$Cleft(0,2,2right)$，$Pleft(1,1,3right)$，$Dleft(0,0,2right)$，$Bleft(2,2,2right)$，

3、则$overrightarrow {B_{1}C}=left(-2,0,2right),overrightarrow {CD}=left(0,-2,0right),overrightarrow {CP}=left(1,-1,1right)$，

4、$because overrightarrow {B_{1}C}cdot overrightarrow {CD}=0,overrightarrow {B_{1}C}cdot overrightarrow {CP}=0,therefore B_{1}Cbot CD,B_{1}Cbot CP$，

5、又$CDcap CP=C$，$therefore B_{1}Cbot $平面$PCD$；

6、（Ⅱ$) $设平面$CPB_{1} $的一个法向量为$overrightarrow {n}=left(x,y,zright)$.

7、由$left{begin{array}{l}overrightarrow {n}cdot overrightarrow {B_{1}C}=-2x+2z=0overrightarrow {n}cdot overrightarrow {CP}=x-y+z=0end{array}right.$，取$z=1$，可得$overrightarrow {n}=left(1,2,1right)$.

8、又平面$BPB_{1} $的一个法向量$overrightarrow {m}=left(2,-2,0right)=2left(1,-1,0right)$，

9、$therefore cos lt overrightarrow {m}$，$overrightarrow {n} gt =xlongequal[|overrightarrow {m}|cdot |overrightarrow {n}|]{overrightarrow {m}cdot overrightarrow {n}}=dfrac{1-2}{sqrt {2}times sqrt {6}}=-dfrac{sqrt {3}}{6}$.

10、由图可知，二面角$B-PB_{1}-C$为钝二面角，

11、$therefore $二面角$B-PB_{1}-C$的余弦值为$-dfrac{sqrt {3}}{6}$.

本文到此结束，希望对大家有所帮助。

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