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如图四棱锥$P-ABCD$的底面是边长为$2$的菱形$\angle(BAD=60^{\circ}$$\triangle PAD$是等边三角形且$PB=\sqrt{6}$$M$是棱$PC$上除$P$$C$的任意一点且$\dfrac{PM}{PC}=\lambda$（1）当$\lambda =\dfrac{1}{3}$时求证平面$BDM\bot $平面$ABCD$（2）平面$BDM$将四棱锥分成两部分当$\lambda =\dfrac{1}{2}$求两部分体积之比.","title_text":"如图四棱锥$
2022-08-01 17:40:05 科技 来源：
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1、$left(1right)$证明：设$AD$中点为$O$，连结$PO$、$BO$、连$BD$与$OC$交于$Q$点，则$PObot AD$，且$PO=sqrt{3}$，
2、由已知，$triangle ABD$为等边三角形，$therefore BO=sqrt{3}$，在$triangle POB$中，
3、$because PO=BO=sqrt{3}$，$PB=sqrt{6}$，
4、$therefore PO^{2}+BO^{2}=PB^{2}$，
5、$therefore PObot BO$，则$PObot $平面$ABCD$，连结$MQ$，
6、$because OD$∥$BC,therefore triangle BQC$∽$triangle OQD,$则$dfrac{OQ}{QC}=dfrac{OD}{BC}=dfrac{1}{2}$，
7、当$lambda =dfrac{1}{3}$时，$dfrac{PM}{MC}=dfrac{1}{2}$，
8、$therefore dfrac{OQ}{QC}=dfrac{PM}{MC}$，则$PO$∥$MQ$，
9、$therefore MQbot $平面$ABCD$，又$MQsubset $平面$BDM$，
10、$therefore $平面$BDMbot $平面$ABCD$；
11、$left(2right) $当$lambda =dfrac{1}{2}$时，$M$是$PC$的中点，$P$到平面$ABCD$距离是$M$到平面$BDC$的距离的$2$倍，
12、又$S_{ABCD}=2S_{triangle BCD}$，$therefore V_{P-ABCD}=4V_{M-BDC}$，
13、则平面$BDM$将四棱锥分成的上下两部分体积为$3:1$.
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